PUB - Publikationen an der Universität Bielefeld

For a prime l dividing a prime number ℓ, we define what it is for a number fieldKto be l-rational. We discuss a special case: the ℓ-birational fields, rational for two places over ℓ. We give a definition for a l-primitive set of tame primes,X, that let us write the Galois group of the maximal ℓ-ramified ℓ-extension ofKas the free pro-ℓ-product of the decomposition groups of primes dividing ℓX∞. This way we get a condition on the ramification for an ℓ-extension ofKto be rational. Numerical examples are given. Nous introduisons ici la notion de corps de nombres l-rationnelKrelativement à une place l au-dessus d'un nombre premier ℓ, qui généralise celle de corps ℓ-rationnel (ou ℓ-régulier) déjà considérée par plusiers auteurs en relation avec laK-théorie, et nous en discutons deiverses propriétés. Nous définissons ensuite la notion d'ensemble de places l-primitif qui permet de décrire le groupe de Galois de la pro-ℓ-extension maximale d'un tel corps comme pro-ℓ-produit de groupe de Galois locaux et de caractériser les ℓ-extensions l-ramifiées en termes de ramification modérée. Le tout est illustré par des exemples numériques obtenus par le système PARI.