PUB - Publikationen an der Universität Bielefeld

Die vorliegende Arbeit behandelt Ähnlichkeits- und Koinzidenzisometrien von gewissen Moduln (einschließlich Gittern) im d-dimensionalen euklidischen Raum, deren Existenz etwa bei der Klassifikation von Korngrenzen in Kristallen und Quasikristallen eine Rolle spielt. Genauer betrachten wir für Unterringe S der Ringe ganzer Zahlen von reellen algebraischen Zahlkörpern die Koinzidenz- und Ähnlichkeitsisometrien von freien S-Moduln Gamma im d-dimensionalen euklidischen Raum vom Rang d, die diesen aufspannen. Es wird gezeigt, dass die Ähnlichkeitsisometrien von Gamma eine Gruppe bilden, die die Koinzidenzisometrien als normale Untergruppe enthält. Die entsprechende Faktorgruppe ist die direkte Summe zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnungen, die d teilen (Theorem 1.23). Falls die Dimension d eine Primzahl p ist, so ist die Faktorgruppe eine elementare abelsche p-Gruppe. Für eine wichtige Klasse von Moduln ist die Faktorgruppe entweder trivial oder eine elementare abelsche 2-Gruppe, abhängig von der Parität der Dimension d (Theorem 1.28). Hierin sind relevante Beispiele der Quasikristallographie eingeschlossen, wie etwa die üblichen Moduln mit Ikosaedersymmetrie und die Ringe ganzer Zahlen von Kreisteilungskörpern. Letztere treten in der mathematischen Beschreibung von aperiodischen Parkettierungen der Ebene auf wie z.B. der Penrose-Parkettierung. Ein wichtiges 3-dimensionales Beispiel ist das kubische Gitter Z^3. Die Gruppe seiner Koinzidenzisometrien ist die orthogonale Gruppe mit rationalen Koeffizienten O(3,Q) und stimmt mit der Gruppe seiner Ähnlichkeitsisometrien überein. Das zweite Kapitel dieser Arbeit beschäftigt sich mit der Gruppenstruktur von O(3,Q). Wir beschränken uns auf die Betrachtung der Untergruppe der Rotationen. Die endlichen Untergruppen sind wohl bekannt, wohingegen die Klassifizierung der endlich erzeugten Untergruppen ein ungelöstes Problem ist. Wir klassifizieren gewisse Untergruppen, die von zwei Elementen erzeugt werden. Zunächst betrachten wir Untergruppen von der speziellen orthogonalen Gruppe mit reellen Koeffizienten SO(3,R), die von zwei Drehungen endlicher Ordnung erzeugt werden, deren Drehachsen ebenfalls einen Winkel endlicher Ordnung einschließen. Solche Gruppen werden in der Literatur gelegentlich verallgemeinerte Diedergruppen genannt und kommen in der Theorie der Parkettierungen des dreidimensionalen Euklidischen Raums vor. Beispielsweise besteht das "quaquaversal tiling" aus kongruenten Kopien eines einzigen dreieckigen Prismas, das in unendlich vielen Orientierungen auftritt. Die Menge dieser Orientierungen bildet eine verallgemeinerte Diedergruppe. Im Allgemeinen sind solche Gruppen freie Produkte oder freie Produkte mit amalgamierter Untergruppe von zyklischen Gruppen oder Diedergruppen, und somit meist unendlich. Die einzigen Ausnahmen sind die Drehsymmetriegruppen gewisser Polyeder (einschließlich einiger platonischer Körper). Für die verallgemeinerten Diedergruppen, die in SO(3,Q) enthalten sind, stellt sich allerdings heraus, dass keine unendliche Gruppe unter ihnen vorkommt. Vielmehr lassen sich diese verallgemeinerten Diedergruppen klassifizieren als genau die endlichen Untergruppen der SO(3,Q) mit Ausnahme der alternierenden Gruppe A_4 (Theorem 2.42). Die Gruppe der Koinzidenzisometrien der üblichen Moduln mit ikosaedrischer Symmetrie im dreidimensionalen euklidischen Raum ist SO(3,Q(tau)), wobei tau der goldene Schnitt ist. Im Gegensatz zum rationalen Fall gibt es verallgemeinerte Diedergruppen in SO(3,Q(tau)), die unendlich sind (Bemerkung 2.49). Abschließend klassifizieren wir die endlichen verallgemeinerten Diedergruppen von SO(3,Q(tau)) (Theorem 2.48) und geben die entsprechenden Resultate für SO(3,K) an, wobei K der reelle maximale Unterkörper des 8. bzw. des 12. Kreisteilungskörpers ist.