PUB - Publikationen an der Universität Bielefeld

Die vorliegende Arbeit behandelt Diffraktionseigenschaften gewisser zufälliger Strukturen. Hierbei sind die Strukturen beschrieben durch (gewichtete) Zählmaße. Untersucht werden dann die zugehörigen Diffraktionsmaße, die durch die Fourier-Transformierten der jeweiligen Autokorrelationsmaße gegeben sind. Bei der ersten Klasse betrachteter Strukturen handelt es sich um Mengen mit beschränkter lokaler Komplexität (FLC-Mengen) in R^d, die zufällig mit Gewichten aus einer kompakten Teilmenge der komplexen Zahlen versehen werden. Der Zufallsmechanismus ist durch eine Klasse von Gibbs-Maßen gegeben. Damit Ergodensätze zur Analyse der Diffraktionsmaße benutzt werden können, betrachten wir passend konstruierte maßtheoretische dynamische Systeme der gewichteten FLC-Mengen. Im Hochtemperaturregime garantiert das Dobrushinsche Eindeutigkeitskriterium die Existenz und Eindeutigkeit kurzreichweitiger Gibbs-Maße auf den einzelnen FLC-Mengen und liefert Abschätzungen für die Kovarianzen der Einpunkt-Funktionen (Proposition 2.22). Die Gibbs-Maße auf den einzelnen FLC-Mengen können dann zu einem Gibbs-Maß auf dem ganzen dynamischen System fortgesetzt werden. Als erstes Resultat geben wir hinreichende Bedingungen für die Ergodizität des so konstruierten Gibbs-Maßes Theta (Theorem 2.29). Danach betrachten wir zunächst ein verwandtes dynamisches System, das die Punkte der FLC-Mengen konstant mit den erwarteten Gewichteten versieht. In Lemma 2.36 geben wir eine Bedingung dafür, dass dieses System reine Punkt-Diffraktion besitzt. Dank der Ergodizität von Theta können wir die Diffraktionsmaße fast sicher zerlegen in einen Teil, der der Diffraktion des verwandten dynamischen Systems entspricht, und einen Teil, der durch die Kovarianzen der Einpunkt-Funktionen bestimmt ist. Die vorher gewonnene Abschätzung für jene Kovarianzen sorgt dafür, dass letzterer Teil als absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes identifiziert werden kann (Theorem 2.40 und Corollary 2.41). Ein singulärstetiger Anteil des Diffraktionsmaßes ist unter den gemachten Annahmen nicht vorhanden. Die zweite betrachtete Klasse von Strukturen ist gegeben durch Realisierungen des Maternschen Hard-Core-Punktprozesses P_R. Im Fall von ergodischen Punktprozessen gibt es direkte Zusammenhänge zwischen zweiten Momenteigenschaften des jeweiligen Prozesses und dem Autokorrelations- bzw. Diffraktionsmaß fast aller Realisierungen. Eine Verbindung zum Palmschen Maß ist die bekannteste. In Proposition 3.8 wird nun noch eine Beziehung zum Bartlett-Spektrum nachgewiesen. Nachdem wir die Ergodizität des Prozesses P_R gezeigt haben (Proposition 3.9), nutzen wir die bekannte zweite Produktdichte des Prozesses, um die Autokorrelation P_R fast sicher zu bestimmen. Die Autokorrelation und damit auch das Diffraktionsmaß können in zwei Teile zerlegt werden. Der eine entspricht den jeweiligen Größen eines gewissen Poisson-Punktprozesses und ist daher bekannt. Der zweite Teil der Autokorrelation ist durch eine sphärisch symmetrische Dichte mit kompaktem Träger gegeben. In Dimension d=1 kann die Fourier-Transformierte dieser Dichte analytisch berechnet und ihr Abfallverhalten für große Radien genauer spezifiziert werden (Proposition 3.10). Obwohl wir die entsprechende Fourier-Transformierte für höhere Dimensionen nicht analytisch berechnen können, lässt sich ein entsprechendes Abfallverhalten wie im eindimensionalen Fall ableiten (Theorem 3.11).

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This thesis explores diffraction properties of two kinds of random structures. The structures are described by (weighted) counting measures. The corresponding diffraction measures, given by the Fourier transform of their autocorrelation, are examined. The first kind of structure is given by sets of finite local complexity (FLC sets) in R^d with randomly attached weights from a compact complex weight set. The random mechanism is given by a class of Gibbs measures. In order to apply ergodic theorems to analyse the diffraction measure, certain measure dynamical systems of weighted FLC sets are considered. In a high temperature regime, the Dobrushin uniqueness criterion guarantees the existence and uniqueness of short ranged Gibbs measures on single FLC sets and gives estimates for the covariances of the one-point functions (Prop. 2.22). The Gibbs measures on single FLC sets can then be extended to the whole dynamical system. As a first result we give sufficient conditions for the ergodicity of the this way constructed Gibbs measure theta (Theorem 2.29). After that, we regard a related dynamical system that weights the points of the FLC sets with their expected weights. In Lemma 2.36 we give a condition for this system to be pure-point diffractive. By the ergodicity of theta we can almost surely split the diffraction measure into a part that corresponds to diffraction of the related dynamical system (i.e. a pure point part) and into a part that emerges from the covariances of the one-point functions. The mentioned estimate for the covariances allows us to identify this part as absolutely continuous with respect to Lebesgue measure (Theorem 2.40 and Corollary 2.41). No singular continuous part of the diffraction measure is present in this setting. The second class of structures is given by realisations of the Matérn hard-core point process P_R. In case of ergodic point processes, there exist direct connections between second order moment properties of the respective process and the autocorrelation and diffraction measure of almost all realisations. The most prominent connection is the one to the so called Palm measure. In Prop. 3.8, a connection to the Bartlett spectrum is shown. After showing the ergodicity of the process P_R, we use the known second order product density of P_R to determine the autocorrelation of almost all of its realisations. The autocorrelation and diffraction measure can almost surely be split into two parts, where the first part is the one of a related Poisson point process and thus known. The second part of the autocorrelation is given by a spherical symmetric density with compact support. In dimension d=1 the Fourier transform of this density can be computed analytically and the decay of this Fourier transform for large radii can be asymptotically determined (Prop. 3.10). Although in higher dimension we cannot give an analytic expression for the Fourier transform of that density, we can still describe the asymptotic decay similar to the one-dimensional case (Theorem 3.11).