PUB - Publikationen an der Universität Bielefeld

In dieser Dissertation studieren wir hauptsächlich Wangs Harnack-Ungleichungen und ihre Anwendungen auf Übergangshalbgruppen, die zu stochastischen Gleichungen gehören. Wir betrachten endlich-dimensionale stochastische (gewöhnliche) Differentialgleichungen mit irregulärem Drift, unendlich-dimensionale (semi-)lineare stochastische partielle Differentialgleichungen mit Gauß'schem oder Lévy-Rauschen, mehrwertige stochastische Differentialgleichungen in endlich-dimensionalen Räumen und mehrwertige stochastische Evolutionsgleichungen in Banach-Räumen. Die Anwendungen der Harnack-Ungleichungen beinhalten das Studium von Regularisierungs-Eigenschaften wie der starken Feller-Eigenschaft, Wärmeleitungskern-Abschätzungen und Hyper-Beschränktheit usw. für die Übergangshalbgruppen. Die wichtigste benutzte Methode, um Harnack-Ungleichungen zu erhalten, ist die Transformation von Maßen, genauer Bildmaß-Transformationen und die Girsanov-Transformation (zusammen mit einem Kopplungsargument). Die letztere Methode wurde von Arnaudon et al. in 2006 eingeführt. Mithilfe einfacher Bildmaß-Transformationen zeigen wir eine optimale Harnack-Ungleichung für die Gauß'sche Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppe. Dies ist eine Verbesserung der von Röckner und Wang in 2003 erhaltenen Harnack-Ungleichung. Darüber hinaus zeigen wir, dass diese Ungleichung äquivalent zur starken Feller-Eigenschaft der Gauß'schen Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppe ist. Durch Koppeln und die Girsanov-Transformation erhalten wir eine Harnack-Ungleichung für Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Lévy-Rauschen. Der Drift in der Girsanov-Transformation ist eine Null-Kontrolle eines linearen Systems. Durch Optimierung über alle Null-Kontrollen erhalten wir eine Harnack-Ungleichung, die die gleiche Form hat wie die für Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Gauß'schem Rauschen. Diese Harnack-Ungleichung verallgemeinert und verbessert die von Röckner und Wang in 2003 erhaltene. Mit der gleichen Methode und der Wahl geeigneter Drifts erhalten wir auch Harnack-Ungleichungen für andere stochastische Gleichungen. Wichtige Aspekte der Methode von Arnaudon et al. sind absolute Stetigkeit und das erfolgreiche Koppeln von Prozessen. Wir behandeln diese Themen in zwei Kapiteln der Arbeit. Wir zeigen ein Girsanov-Theorem für Lévy-Prozesse in unendlich-dimensionalen Räumen. Des weiteren untersuchen wir die absolute Stetigkeit von Lévy-Prozessen. Dieser Teil ist eine unendlich-dimensionale Version der Vorlesungen von Sato über Dichte-Transformationen von Lévy-Prozessen in 2000. Wir zeigen ein Klebe-Lemma, dass das Martingalproblem für die Summe zweier durch Stoppzeiten getrennter Operatoren löst. Es ist eine Verallgemeinerung eines Lemmas von Chen und Li, 1989. Wir wenden dieses Resultat an, um die Existenz einer schwachen Lösung der gekoppelten Gleichung zu erhalten. Für mehrwertige stochastische Evolutionsgleichungen untersuchen wir auch die Konzentrationseigenschaft der invarianten Maße. Diese Eigenschaft verallgemeinert die von Zhang in 2007 untersuchte. Des weiteren untersuchen wir Entropie-Kosten- und HWI-Ungleichungen für Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse mit Gauß'schem Rauschen.

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In this thesis, we mainly study Wang's Harnack inequalities and their applications for the transition semigroups associated with stochastic equations. Among the stochastic equations, we consider finite dimensional stochastic differential equations with irregular drifts; infinite dimensional (semi-)linear stochastic partial differential equations with Gaussian or Lévy noise; multivalued stochastic differential equations in finite dimension and multivalued stochastic evolution equations in Banach spaces. The applications of Harnack inequalities include the study of regularizing properties like strong Feller property, heat kernel estimates and hyperboundedness etc. for the transition semigroups. The main method we used to establish Harnack inequalities is measure transformation. There are two aspects: image measure transformation and Girsanov transformation (combined with a coupling argument). The latter method was introduced by Arnaudon et al. in 2006. By simple image measure transformation (e.g. use the Cameron-Martin formula in Gaussian case), we prove an optimal Harnack inequality for the Gaussian Ornstein-Uhlenbeck semigroup. This is an improvement of the Harnack inequality obtained by Röckner and Wang in 2003. Moreover, we prove that this inequality is equivalent with the strong Feller property of the Gaussian Ornstein-Uhlenbeck semigroup. By coupling and Girsanov transformation we obtain a Harnack inequality for Lévy driven Ornstein-Uhlenbeck processes. The drift in the Girsanov transformation is a null control of some linear system. By optimizing over all null controls, we obtain a Harnack inequality which is of the same form as the Harnack inequality for Ornstein-Uhlenbeck processes driven by Wiener processes. This Harnack inequality also generalizes and improves the one obtained by Röckner and Wang in 2003. By using the same procedure and taking proper drifts, we also establish Harnack inequalities for other stochastic equations. Two crucial ingredients of the method of Arnaudon et al. are the absolute continuity and successful coupling of processes. We also devote two chapters on these topics. We prove a Girsanov theorem for Lévy processes in infinite dimensional spaces. Moreover, we studied the absolute continuity of Lévy processes. This part is an infinite dimensional version of the results in the lecture notes of Sato on density transformation of Lévy processes in 2000. We observed a gluing lemma which solves the martingale problem for the sum of two operators separated by some stopping time. It is a generalization of a lemma stated by Chen and Li in 1989. We apply this result for the existence of the weak solution for coupled equations. This makes it possible for us to establish Harnack inequality for stochastic differential equations with weak solutions. For multivalued stochastic evolution equations, we also studied the concentration property of the invariant measures. This property generalizes the one studied by Zhang in 2007. As a complement, we also study entropy cost and HWI inequalities for Ornstein-Uhlenbeck processes driven by Wiener processes.