Uniqueness of solutions to Fokker-Planck equations related to singular SPDE driven by Levy and cylindrical Wiener noise

Wiesinger S (2011)
Bielefeld: Bielefeld University.

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Bielefeld Dissertation | English
Supervisor
Röckner, Michael
Abstract
Thema dieser Dissertation ist die Eindeutigkeit von Lösungen stochastischer partieller Differentialgleichungen (SPDG). Die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen solcher Gleichungen ist seit mehreren Jahrzehnten ein Kernthema der Forschung in der Wahrscheinlichkeitstheorie. In der Regel versteht man dabei unter dem Begriff "Lösung" einen Prozess, der den Pfad des durch die SPDG beschriebenen Systems abhängig von Zeit, Anfangs- oder Randbedingungen und Zufallseinfluss beschreibt. Wie schon in der Theorie der nicht stochastischen (deterministischen) partiellen Differentialgleichungen existiert auch in der Theorie der SPDG das Problem, dass zu vielen, durchaus anwendungsrelevanten Gleichungen der Nachweis der Existenz und Eindeutigkeit von "pfadweisen" Lösungen mit gegenwärtigen mathematischen Methoden nicht möglich ist. In einigen dieser Fälle hat sich der Ansatz bewährt, anstelle der SPDG die daraus abgeleitete Fokker-Planck-Gleichung zu untersuchen, deren Lösung zwar nicht den Lösungspfad der SPDG angibt, aber immerhin die zeitliche Entwicklung der Lösungsverteilungen. Dieser Ansatz, der in den vergangenen Jahren von mehreren Gruppen von Autoren für unendlichdimensionale Zustandsräume verallgemeinert wurde, steht im Mittelpunkt der vorliegenden Dissertation. Während in der Vergangenheit vorwiegend SPDG untersucht wurden, deren stochastischer Teil durch einen unendlichdimensionalen Wiener-Prozess gegeben ist, wird in der vorliegenden Arbeit die Verallgemeinerung einiger aktueller Ergebnisse zur Eindeutigkeit von Lösungen von Fokker-Planck-Gleichungen für den Fall von SPDG gezeigt, in deren stochastischem Teil ein unendlichdimensionaler Levy-Prozess mit Sprüngen (bzw. die Summe eines solchen Prozesses mit einem zylindrischen Wiener-Prozess) steht. Grundlage für diese neuen Ergebnisse zur Eindeutigkeit der Lösung von Fokker-Planck-Gleichungen sind Resultate zur Verallgemeinerung der Theorie sogenannter Mehler-Halbgruppen von Operatoren auf Funktionenräumen, die am Anfang dieser Dissertation entwickelt werden. Die Übergangshalbgruppen linearer SPDG, auch Ornstein-Uhlenbeck-Halbgruppen genannt, gehören in die Familie der (verallgemeinerten) Mehler-Halbgruppen. Ihre Theorie wurde vor einigen Jahren für den Fall unendlichdimensionaler linearer SPDG mit Levy-Rauschen verallgemeinert. Im ersten Teil dieser Dissertation werden Ergebnisse zur Konstruktion des infinitesimalen Generators solcher Mehler-Halbgruppen erweitert für den Fall explizit zeitabhängiger Testfunktionen. Dadurch wird im Weiteren die Untersuchung von SPDG mit explizit zeitabhängigem Drift ("nicht autonomer Fall") möglich, und somit der Beweis der oben beschriebenen Ergebnisse zur Eindeutigkeit der Lösung von Fokker-Planck-Gleichungen.
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Wiesinger S. Uniqueness of solutions to Fokker-Planck equations related to singular SPDE driven by Levy and cylindrical Wiener noise. Bielefeld: Bielefeld University; 2011.
Wiesinger, S. (2011). Uniqueness of solutions to Fokker-Planck equations related to singular SPDE driven by Levy and cylindrical Wiener noise. Bielefeld: Bielefeld University.
Wiesinger, S. (2011). Uniqueness of solutions to Fokker-Planck equations related to singular SPDE driven by Levy and cylindrical Wiener noise. Bielefeld: Bielefeld University.
Wiesinger, S., 2011. Uniqueness of solutions to Fokker-Planck equations related to singular SPDE driven by Levy and cylindrical Wiener noise, Bielefeld: Bielefeld University.
S. Wiesinger, Uniqueness of solutions to Fokker-Planck equations related to singular SPDE driven by Levy and cylindrical Wiener noise, Bielefeld: Bielefeld University, 2011.
Wiesinger, S.: Uniqueness of solutions to Fokker-Planck equations related to singular SPDE driven by Levy and cylindrical Wiener noise. Bielefeld University, Bielefeld (2011).
Wiesinger, Sven. Uniqueness of solutions to Fokker-Planck equations related to singular SPDE driven by Levy and cylindrical Wiener noise. Bielefeld: Bielefeld University, 2011.
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