Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces

Tölle JM (2010)
Bielefeld (Germany): Bielefeld University.

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Bielefeld Dissertation | English
Author
Supervisor
Röckner, Michael (Prof. Dr.)
Alternative Title
Variationskonvergenz nichtlinearer partieller Differenzialoperatoren auf variierenden Banach-Räumen
Abstract
In dieser Dissertation wird ein neuer Zugang zur Variationskonvergenz von quasi-linearen monotonen partiellen Differenzialoperatoren erarbeitet. Zu diesem Zwecke wird die so genannte Kuwae-Shioya-Konvergenz von metrischen Räumen genauer im Banach-Raum-Fall untersucht. Erstmals werden schwache Banach-Raum-Topologien mit eingebunden. Wir erfüllen das Ziel, sinnvolle (topologische) Aussagen über Konvergenz von Vektoren, Funktionalen und Operatoren treffen zu können, so dass jedes Element einer konvergenten Folge in oder auf einem ausgezeichneten, von den anderen verschiedenen Banach-Raum definiert ist. Banach-Raum-Konvergenz wird als natürliche Verallgemeinerung der Gromov-Hausdorff-Konvergenz von kompakten metrischen Räumen angesehen. Die zugehörige Theorie wird von uns vollständig entwickelt und mit etlichen Beispielen gerechtfertigt. Wir sind unter anderem in der Lage, variierende $L^{p_n}(Omega_n,mathcal{F}_n,mu_n)$-Räume zu betrachten, so dass sowohl der messbare Raum $(Omega_n,mathcal{F}_n)$, als auch das Maß $mu_n$ sowie der Integrierbarkeitsgrad $p_n$ für natürliche Zahlen $n$ variieren, und so dass der Grenzübergang $ntoinfty$ sinnvoll ist. Im Rahmen der variierenden Räume zeigen wir, dass einige klassische Resultate über Variationskonvergenz weiterhin gelten. Genaue Anwendung für konkrete Operatoren findet die Äquivalenz der so genannten Mosco-Konvergenz von konvexen Funktionalen und der Konvergenz der zugehörigen Subdifferenzialoperatoren im starken Graphen Sinne. Im Fall von abstrakten $L^p$-Räumen beweisen wir ein aufwändiges Resultat, in dem Isometrien konstruiert werden, welche die asymptotische Topologie der variierenden Banach-Räume respektieren und es erlauben, eine Folge von Banach-Räumen auf einen festen Banach-Raum zurückzutransformieren. Wir betrachten vier verschiedene Typen von quasi-linearen partiellen Differentialoperatoren, welche einen Banach-Raum $X$ in dessen Dualraum $X^ast$ abbilden. Sämtliche dieser Operatoren werden vollständig durch variationelle Methoden mittels unterhalbstetiger konvexer Funktionale auf einem in $X$ echt eingebetteten Banach-Raum $V$ beschrieben. Als zu approximierende Operatoren präsentieren wir den gewichteten (nicht-homogenen) $Phi$-Laplace Operator in $mathbbm{R}^d$, den gewichteten $p$-Laplace Operator in $mathbbm{R}^d$, den $1$-Laplace Operator mit verschwindender Spur in einer beschränkten Domäne und den verallgemeinerten poröse Medien- bzw. schnelle Diffusions-Operator in einem abstrakten Maßraum. Bei der Mosco-Approximation derer Energien werden generell die Gewichte (Maße) und im zweiten und dritten Fall $p$ variiert. Bei Approximationen dieser Art treten variierende Räume natürlicherweise auf. In der Theorie der Homogenisation findet dies bereits seit einiger Zeit in dem Spezialfall der Zwei-Skalen-Konvergenz Anwendung. Weiterhin entwickeln wir einen alternativen Zugang zu gewichteten $p$-Sobolev-Räumen der ersten Ordnung, der uns eine Klasse von Gewichten einsetzen lässt, die sich von der Muckenhoupt-Klasse unterscheidet. Wir zeigen ein neues Resultat über Dichtheit glatter Funktionen in gewichteten $p$-Sobolev-Räumen, welches für $p=2$ als "Markoff-Eindeutigkeit" bekannt und wohlstudiert ist. Dieses Problem ist auch als "$H=W$" bekannt; das Zusammenfallen des starken und schwachen Sobolev-Raumes. Mit Hilfe dieses Resultats sind wir in der Lage, den Mosco-Grenzwert von gewichteten $p$-Laplace Operatoren zu identifizieren.

In this doctoral thesis, a new approach towards variational convergence of quasi-linear monotone partial differential operators is elaborated. To this end, we analyze more explicitly the so-called Kuwae-Shioya convergence of metric spaces in the case of Banach spaces. For the first time, weak Banach space topologies are included. We achieve the objective to be able to formulate reasonable (topological) statements about convergence of vectors, functionals or operators such that each element of a convergent sequence lives in/on another distinct Banach space. Banach space convergence is considered a natural generalization of Gromov-Hausdorff convergence of compact metric spaces. The associated theory is developed here completely and justified by several examples. Among other things, we are able to consider varying $L^{p_n}(Omega_n, mathcal{F}_n,mu_n)$ spaces such that the measurable space $(Omega_n,mathcal{F}_n)$ as well as the measure $mu_n$ as well as the degree of integrability $p_n$ varies for positive integers $n$, and such that the limit $ntoinfty$ is given sense. Inside the framework of varying spaces, we show that a number of classical results on variational convergence still hold. Explicit applications are given for the equivalence of so-called Mosco convergence of convex functionals and the strong graph convergence of the associated subdifferential operators. In the case of abstract $L^p$-spaces, we prove an elaborate result yielding a general transfer method that enables us to carry over classical results (for one fixed space) to the case of varying spaces. More precisely, we construct isometries that respect the asymptotic topology of the varying Banach spaces and allow us to transform back to one fixed Banach space. We are considering four types of quasi-linear partial differential operators mapping a Banach space $X$ to its dual space $X^ast$. All of these operators are characterized completely via variational methods by lower semi-continuous convex functionals on a Banach space $V$ embedded properly into $X$. As operators to be approximated, we present the weighted (non-homogeneous) $Phi$-Laplacian in $mathbbm{R}^d$, the weighted $p$-Laplacian in $mathbbm{R}^d$, the $1$-Laplacian with vanishing trace in a bounded domain, and the generalized porous medium resp. fast diffusion operator in an abstract measure space. When taking the Mosco approximation of their energies, we generally vary the weights (measures). In the second and third case, $p$ is also varied. When dealing with approximations of such kind, varying spaces occur naturally. In the theory of homogenization, the special case of two-scale convergence has already been being employed for some time. Furthermore, we develop an alternative approach towards weighted $p$-Sobolev spaces of first order, which enables us to consider weights in a class different from the Muckenhoupt class. We prove a new result on density of smooth functions in weighted $p$-Sobolev spaces, which is known and well-studied as "Markov uniqueness" for $p=2$. This problem is also known as "$H=W$", that is, the coincidence of the strong and the weak Sobolev space. With the help of this result, we are able to identify the Mosco limit of weighted $p$-Laplace operators.
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Tölle JM. Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces. Bielefeld (Germany): Bielefeld University; 2010.
Tölle, J. M. (2010). Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces. Bielefeld (Germany): Bielefeld University.
Tölle, J. M. (2010). Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces. Bielefeld (Germany): Bielefeld University.
Tölle, J.M., 2010. Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces, Bielefeld (Germany): Bielefeld University.
J.M. Tölle, Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces, Bielefeld (Germany): Bielefeld University, 2010.
Tölle, J.M.: Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces. Bielefeld University, Bielefeld (Germany) (2010).
Tölle, Jonas M. Variational convergence of nonlinear partial differential operators on varying Banach spaces. Bielefeld (Germany): Bielefeld University, 2010.
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