Pisot substitutions and beyond

Sing B (2006)
Bielefeld (Germany): Bielefeld University.

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Bielefeld Dissertation | English
Author
Supervisor
Baake, Michael (Prof. Dr.)
Abstract
Die vorliegende Arbeit besteht (hauptsächlich) aus drei Teilen: Zum einen werden Hausdorff-Maße auf Produkträumen über lokalen Körpern definiert. Hier werden dann iterierte Funktionensysteme betrachtet, für deren Attraktoren die Hausdorff-Dimension abgeschätzt werden kann. Danach werden Streifenprojektionsmengen (cut and project sets) betrachtet; für Punktmengen, die sich mittels einer Substitutionsregel erzeugen lassen, werden Bedingungen angegeben, die garantieren, dass sie sich auch als Streifenprojektionsmenge schreiben lassen. Angewandt werden die so entwickelten Methoden und Ergebnisse auf Pisot Substitutionen. Es wird vermutet, dass sich alle durch Pisot Substitutionen erzeugten (1-dimensionalen) Punktmengen als Streifenprojektionsmengen schreiben lassen. Dazu wird eine Liste äquivalenter Bedingungen formuliert. In Kapitel 4 wird zunächst gezeigt, dass das Haar-Maß auf einem Produktraum über lokalen Körpern ein Hausdorff-Maß ist (Theorem 4.56). Danach werden iterierte Funktionensysteme und ihr jeweiliger Attraktor betrachtet. Indem Ergebnisse von K. J. Falconer (über R^n) verallgemeinert werden, erhält man obere (Prop. 4.122) bzw. in manchen Fällen auch untere (Lemma 4.126 & Props. 4.127 & 4.129) Schranken für die Hausdorff-Dimension (wie auch die Box-Counting Dimension (Lemma 4.133)) dieser Attraktoren. Kapitel 5 steht im Zeichen von Streifenprojektionsmengen und Delone-Punktmengen, die durch Substitutionen erzeugt werden, sowie ihrer Beziehungen zueinander. In Abschnitt 5.3 wird gezeigt, wie man - nach Baake-Moody - insbesondere im Fall einer Delone-Menge mit mehreren Komponenten ein dazugehörendes Streifenprojektionsschema konstruiert. Diese Konstruktion lässt sich im Fall einer Substitutionsmenge übertragen und erweitern (Abschnitt 5.7.3), falls eine sogenannte algebraische oder Überlapp-Koinzidenz vorliegt; tatsächlich erhält man hier einen "vergrößerten" internen Raum (Prop. 5.137). Zentrale Aussage ist nun Theorem 5.154, das äquivalente Bedingungen dafür angibt, dass eine Substitutionsmenge eine Streifenprojektionsmenge ist: Entweder besitzt die Substitution eine algebraische oder Überlapp-Koinzidenz, oder es existiert eine bestimmte aperiodische Parkettierung des (erweiterten) internen Raumes. Angewandt wird dies in Kapitel 6 auf Sequenzen, die von Pisot Substitutionen herrühren (Theorem 6.77). Allerdings kommen hier weitere äquivalente Bedingungen dazu, so z.B. dass eine bestimmte periodische Parkettierung des internen Raumes existiert (siehe Prop. 6.72), oder dass die sogenannte "geometrische Koinzidenz-Bedingung" (GCC) erfüllt ist (dazu wird auch eine graphentheoretische Formulierung angegeben, siehe Abschnitt 6.9). Die komplette Liste aller somit gefundenen äquivalenten Bedingungen - und somit die zentrale Aussage dieser Arbeit - ist dann Theorem 6.116. Dabei sind auch schon diejenigen äquivalenten Aussagen mitaufgenommen, die sich erst im Kapitel 7 aus allgemeinen Betrachtungen über Diffraktionsmaße von Delone-Mengen, dem Spektrum von durch Delone-Mengen erzeugten dynamischen Systemen oder der sogenannten Torus-Parametrisierung für Streifenprojektionsmengen ergeben (Kapitel 7 ist hauptsächlich ein Überblick über schon bekannte Ergebnisse in der Literatur). Um die erhaltenen Aussagen in den größeren Zusammenhang einzuordnen, werden außerdem die "sichtbaren Gitterpunkte" (Kapitel 5a), Parkettierungen in der Ebene (Kapitel 6a), Gittersubstitutionssysteme (Kapitel 6b), sowie reduzible Pisot Substitutionen und [beta]-Subsitutionen (Kapitel 6c) besprochen und mit den erarbeiteten Methoden behandelt.

This thesis consists (mainly) of three parts: At first, we define Hausdorff measures for product spaces of local fields. We look at iterated function systems on such spaces, the Hausdorff dimension of their attractor is estimated. Afterwards, model sets (respectively cut and project sets) are introduced. For point sets generated by a substitution rule, we state criteria that ensure that the point set in question is a model set. These results are applied to Pisot substitutions. It is conjectured that all (one-dimensional) point sets generated by a Pisot substitution are model sets. A list of equivalent statements for this conjecture is given. In the first part of Chapter 4 we show that the Haar measure on a product space of local fields is a Hausdorff measure (Theorem 4.56). Then, iterated function systems and their attractors are introduced. Generalising results of K. J. Falconer (on R^n), upper (Prop. 4.122) and in some cases lower (Lemma 4.126 & Props. 4.127 & 4.129) bounds for the Hausdorff dimension (as well as the box-counting dimension (Lemma 4.133)) for these attractors are derived. The main theme of Chapter 5 are model sets (cut and project sets) and Delone point sets that are generated by a substitution, and their interplay. Following Baake-Moody, the construction of a cut and project scheme for a multi-component Delone set is derived in Section 5.3. This construction is extended and modified for substitution point sets (Section 5.7.3) if there is a so-called algebraic or overlap coincidence; indeed, one obtains an extended internal space here (Prop. 5.137). The main theorem of this chapter is Theorem 5.154 which states equivalent conditions under which a substitution point set is a model set: Either the substitution has an algebraic or overlap coincidence, or there exist certain aperiodic tilings of the (extended) internal space. These results are applied to sequences generated by Pisot substitutions in Chapter 6 (Theorem 6.77). However, one can derive additional equivalent conditions, e.g., that a certain periodic tiling of the internal space exists (Prop. 6.72), or that the so-called "geometric coincidence condition" (GCC) is satisfied (for the latter, we also state a graph-theoretic formulation, see Section 6.9). The complete list - and thus the central theorem of this thesis - of all equivalent conditions is given in Theorem 6.116. Here, we have also included statements from Chapter 7. In that chapter, we mainly summarise results about the diffraction measure of Delone sets, the spectrum of the dynamical system generated by a Delone set and the torus parametrisation for a model set already present in the literature. To contextualize the achieved results, we look at and apply our methods to "visible lattice points" (Chapter 5a), tilings of the plane (Chapter 6a), lattice substitution systems (Chapter 6b) and reducible Pisot substitutions and [beta]-substitutions (Chapter 6c).
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Sing B. Pisot substitutions and beyond. Bielefeld (Germany): Bielefeld University; 2006.
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Sing, B. (2006). Pisot substitutions and beyond. Bielefeld (Germany): Bielefeld University.
Sing, B., 2006. Pisot substitutions and beyond, Bielefeld (Germany): Bielefeld University.
B. Sing, Pisot substitutions and beyond, Bielefeld (Germany): Bielefeld University, 2006.
Sing, B.: Pisot substitutions and beyond. Bielefeld University, Bielefeld (Germany) (2006).
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